Czy da się zdać maturę z matematyki strzelając?

W tym artykule przedstawię prawdziwy problem matematyczny, który pojawił się na jednej z moich lekcji matematyki w technikum. Brzmi on tak:

Do matury podstawowej z matematyki podchodzi osoba (lub np. mało rozgarnięta małpa), która postanawia strzelać na wszystkie 25 pytań zamkniętych. Jakie ma szanse na zdanie tego egzaminu, jeśli próg zaliczeniowy to 15 punktów?
Zakładamy oczywiście, że zadania otwarte pozostaną nietknięte.

Trochę teorii

Do rozwiązania tego problemu idealnie nada się Schemat Bernoulliego, który pozwala obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n dokonanych próbach. Przykładem takiego doświadczenia może być np. obliczanie prawdopodobieństwa wyrzucenia 5 orłów w dwudziestokrotnym rzucie monetą. Tu chcemy uzyskać 5 sukcesów w 20 próbach.

Wzór na obliczenie prawdopodobieństwa uzyskania k sukcesów w n próbach będzie wygląda tak:

$P(X=k) = \binom{n}{k} s^k \cdot p^{n-k}$

gdzie s jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie, a k – prawdopodobieństwem uzyskania porażki.

A teraz matura

Wróćmy teraz do naszego problemu. Jeśli strzelamy na maturze, to mamy do dyspozycji cztery możliwe opcje, a tylko jedna z nich jest tą dobrą. Zatem prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0.25, a prawdopodobieństwo porażki 0.75.

Korzystając ze wzoru widocznego powyżej, możemy łatwo wskazać prawdopodobieństwo dla uzyskania dowolnej liczby sukcesów w dowolnej liczbie prób. Za pomocą wbudowanego w Geogebrę modułu obliczania prawdopodobieństwa, szybko uzyskamy te wyniki dla 25 prób. Będą się one przedstawiały następująco:

Na powyższej grafice widać, że największe jest prawdopodobieństwo uzyskania 6 sukcesów, a więc

strzelając najprawdopodobniej uzyskamy 6 punktów z pytań zamkniętych, czyli 12%.

Ale czy da się zdać?

Powyższy wykres nie jest jednak odpowiedzią na pytanie postawione w tytule. Zaliczenie nastąpi bowiem, jeśli uzyskamy 15, 16, 17… i tak aż do 25 punktów. Prawdopodobieństwo zdania matury, będzie sumą dla wymienionych wcześniej prawdopodobieństw (niejawnie korzystamy tu z pojęcia dystrybuanty).

Zerknijmy teraz na poniższy wykres, który przedstawia prawdopodobieństwo dla uzyskania maksymalnie s sukcesów (wykres wspomnianej dystrybuanty):

Możemy z niego odczytać na przykład to, że:

  • prawdopodobieństwo uzyskania pięciu lub mniej sukcesów wynosi około 40%,
  • na 50% uzyskamy 6  lub mniej odpowiedzi odpowiedzi,
  • strzelając, uzyskamy na ponad 90% dziesięć lub mniej odpowiedzi poprawnych.

Widać też, że prawdopodobieństwo niezdania matury (czyli uzyskania 15 lub mniej punktów) jest bliskie 100%.

A dokładniej?

Gdyby skorzystać z dokładnych obliczeń, uzyskalibyśmy wynik pokazujący szanse zdania matury, równy 0,02%. W praktyce to oznacza, że na 10 000 delikwentów, którzy podeszliby w taki sposób do matury, około dwójka z nich uzyskałaby wynik zadowalający.

Można dokładnie wyliczyć to korzystając z poniższego wzoru:

$P(X\geq 15) = \sum_{k=15}^{25} \binom{25}{k} (0.25)^k \cdot (0.75)^{25-k}$

Jeśli kogoś interesują dokładne obliczenia (ale szybsze niż ze wzoru), to polecam kalkulator internetowy dla rozkładu dwumianowego, który można znaleźć tutaj. Daje on całkiem przyjemne rezultaty, które publikuję poniżej.

No i oczywiście, wiele kalkulatorów naukowych pozwala obliczyć prawdopodobieństwo, czy to pojedynczej liczby sukcesów czy pewnego przedziału (o czym często ich użytkownicy nie wiedzą). Jeśli ktoś taki posiada, warto zerknąć sobie do instrukcji i zobaczyć, czy jego urządzenie ma taką funkcję. Zdecydowanie jest to lepsze i szybsze rozwiązanie niż serwis internetowy, czy arkusz kalkulacyjny. Niżej prezentuję zdjęcie mojego kalkulatora, z opcją obliczania dystrubuanty dla wybranej liczby sukcesów.

Autor artykułu: Piotr Szlagor

Nauczyciel matematyki i przedmiotów informatycznych w Zespole Szkół Technicznych i Handlowych i Dwujęzycznych Szkołach im. Władysława Kopalińskiego w Bielsku-Białej. Autor wielu publikacji poświęconych nauce podstaw programowania, w tym "Scratch. Nauka programowania przez zabawę", wydanej drukiem przez wydawnictwo Komputer Świat. Entuzjasta wykorzystywania nowych nowoczesnych narzędzi w czasie lekcji. Prywatnie miłośnik koszykówki i aktywnego wykorzystywania czasu.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.